Для вычисления площади шестиугольника, вписанного в окружность, необходимо знать радиус окружности, описанной вокруг шестиугольника.
Формула вычисления радиуса описанной окружности: R = a / √3, где a — длина стороны шестиугольника.
Для вычисления площади шестиугольника можно воспользоваться формулой: S = (3√3 / 2) * R^2, где R — радиус описанной окружности.
Таким образом, чтобы вычислить площадь шестиугольника, вписанного в окружность, необходимо:
- Найти длину стороны шестиугольника;
- Вычислить радиус описанной окружности по формуле R = a / √3;
- Вычислить площадь шестиугольника по формуле S = (3√3 / 2) * R^2.
Описанный выше метод подходит для любого правильного шестиугольника, независимо от его размера. Например, если сторона шестиугольника равна 5 см, то радиус описанной окружности будет:
$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\approx2,89 \text{ см}$$
Площадь шестиугольника, вписанного в эту окружность, будет:
$$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot(2,89)^2\approx37,48\text{ см}^2$$
Таким образом, площадь шестиугольника, вписанного в окружность, определяется только по длине стороны и может быть легко вычислена с помощью формулы, описанной выше.
Свойства шестиугольника, вписанного в окружность
Шестиугольник, вписанный в окружность, имеет несколько интересных свойств, которые могут быть использованы при решении геометрических задач:
- Сумма всех углов шестиугольника равна 720 градусов;
- Диагонали шестиугольника, проведенные из одной вершины, равны между собой;
- Высота шестиугольника, проведенная к стороне, равна половине длины описанной окружности.
Эти свойства могут быть использованы для нахождения различных параметров шестиугольника, вписанного в окружность, и для решения геометрических задач.
Примеры задач на вычисление площади шестиугольника, вписанного в окружность
Пример 1: Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом 8 см.
Решение: Длина стороны шестиугольника равна:
$$a=2R\sin{\frac{\pi}{6}}=2\cdot 8\cdot\sin{\frac{\pi}{6}}=8\text{ см}$$
Радиус описанной окружности равен:
Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148
$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}\approx4,62\text{ см}$$
Площадь шестиугольника будет:
Задача 6 №27917 ЕГЭ по математике. Урок 134
$$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot(4,62)^2\approx75,47\text{ см}^2$$
Ответ: Площадь шестиугольника, вписанного в окружность радиусом 8 см, равна 75,47 см².
Пример 2: Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность диаметром 12 см.
Решение: Радиус описанной окружности равен:
$$R=\frac{d}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}$$
Длина стороны шестиугольника равна:
$$a=2R\sin{\frac{\pi}{6}}=2\cdot 6\cdot\sin{\frac{\pi}{6}}=6\text{ см}$$
Площадь шестиугольника будет:
$$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 6^2=54\sqrt{3}\approx93,53\text{ см}^2$$
Ответ: Площадь шестиугольника, вписанного в окружность диаметром 12 см, равна 93,53 см².